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考试真题
 
安徽省2012年普通高等学校专升本高等数学试卷及答案

添加时间: 2012-5-21 6:07:07 来源: 作者:合肥步步升教育 点击数:4195

安徽省2012年普通高等学校专升本高等数学试卷及答案

注意事项:

1.试卷共8页,请用签字笔答题,答案按要求写在指定的位置。

2.答题前将密封线内的项目填写完整。

一、选择题(下列每小题的选项中,只有一项是符合题意的,请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题,每小题3分,共30分)

1.若函数 在处连续,则   C 

A. 0                B. 1            C. 2           D. 3

解:由 ,故选C.

 

参见教材P265.  处连续,则         .

2. 时,与函数 是等价无穷小的是(  A 

A.        B.        C.        D.

解:由 ,故选A.

 

参见教材P15,19. 时,与无穷小量 等价的是(   

A.         B.         C.         D.

3. 可导,则 =  D 

A.        B.      C.     D.

解: ,故选D.

 

参见教材P44, 1.设 ,且 存在,则    

A.      B.

C.                 D.

4.   的一个原函数,则   B 

A.      B.       C.       D.

解:因   的一个原函数,所以 ,所以

故选B.

 

参见教材P101,73.设 的一个原函数,求

5.下列级数中收敛的是(  C 

A.    B.      C.         D.

解:因 ,所以 收敛, 故选C.

 

参见模考试卷2,6.下列级数中收敛的是(     

A    B      C      D

 

 

 

y

y=2x

y=x2

O    1        x

2

1

6.交换 的积分次序,则下列各项正确的是(  B 

A.                 B.

C.                 D.

解:由题意画出积分区域如图:故选B.

 

参见冲刺试卷12,6.交换 的积分顺序,则   A 

A                     B

C                         D

7.设向量 是非齐次线性方程组AX=b的两个解,则下列向量中仍为该方程组解的是(  D 

A.        B.        C.        D.

解:因 同理得

 故选D.

参见教材P239, 14.设 是线性方程组 的解,则(  

(A). 的解      (B). 的解

(C). 的解(

(D). 的解(

 

8.已知向量 线性相关, D

A. -2            B. 2              C. -3             D. 3

: 

由于 线性相关,所以 ,因此

参见教材P230,4.设向量组 线性相关,

: ,

由于 线性相关,所以 ,因此矩阵 任意3阶子式为0,从而 .

9. 为事件,且   A 

A.0.2            B. 0. 4           C. 0.6             D. 0.8

: 

 

参见模考试卷1,20.设AB是两个随机事件, _________.

10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋,再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是(  B 

A.            B.           C.             D.

: 由全概率公式得 

 

参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的相关例题和习题.

 

二、填空题(本题共10小题,每小题3分,共30分,把答案填在题中横线上。)

11.设函数 ,则函数的定义域为 .

解: .

 

参见冲刺试卷9,1题:函数  的定义域为 (     )

A     B     C     D

解:

12.设曲线 在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是 .

解: ,由 ,从而 ,故填 .

 

参见教材P46, 16.已知直线 是抛物线 上点 处的切线,求

13.设函数 ,则 .

解: , .

 

参见教材P4615.求下列函数的二阶导数(4

14   .

解: .

&, nbsp;

参见教材P90,30.已知 ,则         .

15 =   e  .

解: .

参见教材P128,10.计算

【解】 .

16.幂级数 的收敛域为 .

解:由 .

级数收敛,

,级数为 收敛; ,级数为 发散;

故收敛域为 .

 

参见教材P182,13.求下列级数的收敛半径和收敛域:4 ;

冲刺试卷1,26:求幂级数 的收敛域.

17.设An阶矩阵,En阶单位矩阵,且 .

解:

 

 

 

参见教材P213,6.矩阵的综合运算知识

⑤设 ,

:

.

参见冲刺试卷2,19题.已知 阶方阵 满足 ,其中 阶单位阵, =          

解:

,

18.设 ,记 表示A的逆矩阵, 表示A的伴随矩阵,

.

 

参见冲刺试卷3,18.已知A A*A的伴随阵,则            

解:由A*A=|A|E= ,A*(- 4A)=E

19.设型随机变量 = .

解:由正态分布的对称性得 .

 

参见冲刺试卷4, 20.设随机变量X~ ,且二次方程 无实根的概率为 , =          

解:由于X~

方程 有实根,

此方程无实根的概率为 , =4.

20.设型随机变量 在区间 上服从均匀分布,则方差 .

解:直接由均匀分布得 .

 

参见教材P277,

 

 

三、计算题:本大题共8小题,其中第21-27题每题7分,第2811分,共60分。

21.计算极限 .

解:原式=

=

= =0.

 

 

参见冲刺试卷4, 21.求

解:令 ,则

 

22.求由方程 确定的隐函数的导数 .

解:两边取对数得 ,

两边求导得 ,

从而 .

 

参见模考试卷1, 22.设函数 由方程 所确定,求

23.计算定积分

解:令 , , ; , .

所以原式= = = = .

 

参见教材P115,33.求

【解】运用第二换元积分法,令 ,当 时, ;当 时, ,则

 

 

 

 

24.求微分方程 的通解.

解:原方程可整理为

这是一阶线性微分方程,其中 .

所以原方程的通解为

 

.

 

 

 

参见冲刺试卷11,24题.求微分方程 满足初始条件 的特解.

25.计算二重积分 ,其中 是由直线 所围成的区域.

 

y

y=2x

xy=2

x

O

1   2

4

2

解:区域D如图阴影部分所示.

 

 

.

 

O               x

y

y=x

 

2

1

5-7

 

参见教材P162,4.计算二重积分 ,其中 由直线 及双曲线 所围成.

【解】画出区域 的图形,如图5-7

如图三个顶点分别为

由积分区域的形状可知,采用先 的积分次序较好,

即先对 积分.

 

 

 

26.设矩阵 且满足 ,求矩阵X.

解:由 可得

,所以 可逆,

因此

 

参见冲刺试卷9,28题.已知 ,若X满足

AX- BA=B+X.求X

27.设行列式 , 处的导数.

解:

 

.

.

 

本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同.

参见教材P200,1,P201,8, P202,9,(2),P204填空题2.

从而 .

28.已知离散型随机变量X的密度函数为 且数学期望 .

: (1) a的值; (2) X的分布列;(3)方差D(X )

解:(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为012,且

 

所以 .

(2) 由(1)即得X的分布列为

     0    1    2

                

(3) ,

 

参见冲刺试卷2,20题.设随机变量X的概率分布律为

X     1     0      1

P     1/6     a      b

E(X)=1/3,则D(X)________

解:由题意知: 

, .

参见模考试卷1,29.设离散型随机变量 的分布列为

     1    2    3    4

          0.3     0.2

的数学期望 求(1)常数 的值;(2 的分布函数 ;(3 的方差 .

 

四、证明题与应用题:本大题共3小题,每小题10分,共30分。

29.设 ,其中 可微, .

证明:因为

           

 

,

     .              (9)

 

参见冲刺试卷2,16题.设 ,且 可导,则 =          

30.设D是由曲线 x轴所围成的的平面区域

 

y

O

x

y=lnx

 

1

e

(e,1)

: (1) 平面区域D的面积S; (2) Dy轴旋转一周所成的旋转体的体积V

:区域D如图阴影部分所示。曲线 x轴及

的交点坐标分别为

1)平面区域D的面积

.

2Dy轴旋转一周所成的旋转体的体积V

 

 

这是最基本的题型,每套试卷都有.

 

 

31.证明不等式:当 时, .

证明: , ,

所以 上单调递增,从而当当 ,

, , ;

, ,

所以 上单调递减,从而当当 ,

, ,从而 .

综上所述: 时,有 .

 

参见教材P71,8.设 ,证明:

证:选择适当的函数 ,要证 ,只需证明 .

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