安徽省2012年普通高等学校专升本高等数学试卷及答案
注意事项：
1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。
2．答题前将密封线内的项目填写完整。
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）
1.若函数 在 在处连续，则 （ C ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解：由 得 ,故选C.
参见教材P26，5. 在 处连续，则 .
2.当 时，与函数 是等价无穷小的是（ A ）
A. B. C. D.
解：由 ,故选A.
参见教材P15,例19. 当 时，与无穷小量 等价的是（ ）
A. B. C. D.
3.设 可导，则 =（ D ）
A. B. C. D.
解： ,故选D.
参见教材P44, 1．设 ，且 存在，则 （ ）
A. B.
C. D.
4.设 是 的一个原函数，则 （ B ）
A. B. C. D.
解：因 是 的一个原函数,所以 ,所以
故选B.
参见教材P101,73．设 为 的一个原函数，求
5.下列级数中收敛的是（ C ）
A. B. C. D.
解：因 ,所以 收敛, 故选C.
参见模考试卷2,6．下列级数中收敛的是( ）
A． B． C． D．
y
y=2x
y=x2
O 1 x
2
1
6.交换 的积分次序，则下列各项正确的是（ B ）
A. B.
C. D.
解：由题意画出积分区域如图:故选B.
参见冲刺试卷12,6．交换 的积分顺序，则 （ A ）
A． B．
C． D．
7.设向量 是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ）
A. B. C. D.
解：因 同理得
故选D.
参见教材P239, 14．设 是线性方程组 的解，则（ ）
(A). 是 的解 (B). 是 的解
(C). 是 的解（ ）
(D). 是 的解（ ）
8.已知向量 线性相关,则 （ D ）
A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
解:
由于 线性相关,所以 ,因此
参见教材P230,例4．设向量组 线性相关,则
解: ,
由于 线性相关,所以 ,因此矩阵 任意3阶子式为0,从而 .
9.设 为事件，且 则 （ A ）
A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8
解:
参见模考试卷1,20．设A和B是两个随机事件， 则 _________.
10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ）
A. B. C. D.
解: 由全概率公式得
参见教材及冲刺试卷中的全概率公式的相关例题和习题.
二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)
11．设函数 ，则函数的定义域为 .
解： .
参见冲刺试卷9,1题：函数 的定义域为 ( )
A． B． C． D．
解： ．
12．设曲线 在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是 .
解： ，由 ，从而 ，故填 .
参见教材P46, 16．已知直线 是抛物线 上点 处的切线，求
13．设函数 ，则 .
解： , .
参见教材P46，15．求下列函数的二阶导数（4）
14． .
解： .
&, nbsp;
参见教材P90,例30．已知 ，则 .
15． = e .
解： .
参见教材P128,例10．计算
【解】 .
16．幂级数 的收敛域为 .
解：由 .
得 级数收敛,
当 时,级数为 收敛; 当 时,级数为 发散;
故收敛域为 .
参见教材P182,例13．求下列级数的收敛半径和收敛域:（4） ;
冲刺试卷1,26题:求幂级数 的收敛域．
17．设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且 则 .
解：
参见教材P213,例6．矩阵的综合运算知识
⑤设 ,则
解:
.
参见冲刺试卷2,19题．已知 阶方阵 满足 ,其中 是 阶单位阵,则 = ．
解：
,
18．设 ，记 表示A的逆矩阵, 表示A的伴随矩阵,则
.
参见冲刺试卷3,18．已知A＝ ，A*为A的伴随阵，则 ．
解：由A*A=|A|E= ,A*(- 4A)=E
19．设型随机变量 且 则 = .
解：由正态分布的对称性得 .
参见冲刺试卷4, 20．设随机变量X~ ,且二次方程 无实根的概率为 ,则 = ．
解：由于X~
方程 有实根,则
此方程无实根的概率为 ,故 =4.
20．设型随机变量 在区间 上服从均匀分布,则方差 .
解：直接由均匀分布得 .
参见教材P277,
三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。
21．计算极限 .
解：原式=
=
= =0.
参见冲刺试卷4, 21．求 ．
解：令 ，则
22．求由方程 确定的隐函数的导数 .
解：两边取对数得 ,
两边求导得 ,
从而 .
参见模考试卷1, 22．设函数 由方程 所确定，求
23．计算定积分
解：令 ,则 当 时, ;当 时, .
所以原式= = = = .
参见教材P115,例33．求
【解】运用第二换元积分法，令 ，当 时， ；当 时， ，则
24．求微分方程 的通解.
解：原方程可整理为
这是一阶线性微分方程,其中 .
所以原方程的通解为
.
参见冲刺试卷11,24题．求微分方程 满足初始条件 的特解.
25．计算二重积分 ,其中 是由直线 所围成的区域.
y
y=2x
xy=2
x
O
1 2
4
2
解：区域D如图阴影部分所示.
故
.
O x
y
y=x
2
1
图5-7
参见教材P162,例4．计算二重积分 ，其中 由直线 及双曲线 所围成.
【解】画出区域 的图形，如图5-7，
如图三个顶点分别为
由积分区域的形状可知，采用先 后 的积分次序较好，
即先对 积分.
26．设矩阵 ， 且满足 ,求矩阵X.
解：由 可得
因 ,所以 可逆,
因此
参见冲刺试卷9,28题．已知 ，若X满足
AX- BA=B+X．求X．
27．设行列式 ,求 在 处的导数.
解：
.
故 .
本题是考一种特殊行列式的计算,即行列式中每行元素之和相同.
参见教材P200,例1,P201,例8, P202,例9,(2),P204填空题2.
从而 .
28．已知离散型随机变量X的密度函数为 且数学期望 .
求: (1) a的值; (2) X的分布列；(3)方差D(X )．
解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且
因
所以 .
(2) 由（1）即得X的分布列为
0 1 2
(3) ,
参见冲刺试卷2,20题．设随机变量X的概率分布律为
X －1 0 1
P 1/6 a b
且E(X)=1/3，则D(X)＝________．
解：由题意知:
,故 .
参见模考试卷1,29．设离散型随机变量 的分布列为
1 2 3 4
0.3 0.2
且 的数学期望 求（1）常数 的值；（2） 的分布函数 ；（3） 的方差 .
四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。
29．设 ，其中 可微， .
证明：因为
,
故
. (9分)
参见冲刺试卷2,16题．设 ，且 可导，则 = ．
30．设D是由曲线 及x轴所围成的的平面区域
y
O
x
y=lnx
1
e
(e,1)
求: (1) 平面区域D的面积S; (2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V．
解:区域D如图阴影部分所示。曲线 与x轴及
的交点坐标分别为
（1）平面区域D的面积
.
（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V
这是最基本的题型,每套试卷都有.
31．证明不等式：当 时， .
证明: 设 ,则 ,
所以 上单调递增,从而当当 时,有
,即 ,即 ;
令 ,则 ,
所以 上单调递减,从而当当 时,有
,即 ,从而 .
综上所述:当 时，有 .
参见教材P71,例8．设 ，证明：
证：选择适当的函数 ，要证 ，只需证明 .
